ВПР Математика 2025 год - 7 класс
 
Разбор заданий по геометрии (углы и треугольники)
 
    
 
 
 Пример №1.
 
 
Задание.
 
 
 
 
Решение.
 
Задание можно решить двумя способами.
 
1.(через смежный угол)
 
 
В задании необходимо найти внешний угол при вершине С. Этим углом является угол ACD.
Внешний угол (по определению) это угол, смежный с внутренним углом, а сумма смежных углов всегда равна 180°. Внешний угол ACD является смежным с углом ACB. Значит сумма углов ACD и ACB равна 180°. Следовательно,
 
ACD = 180° - ACB
 
Угол ACB, в свою очередь, является одним из углов треугольника ACB.
Сумма углов треугольника равна 180°. Значит угол ACB можно найти через углы CAB и CBA.
 
ACB = 180° - (BAC + CBA)
 
В треугольнике ABC стороны AC и CB равны, то есть треугольник является равнобедренным. В таком треугольнике углы при основании равны. То есть,
 
BAC = CBA
 
По условию задания BAC = 41°.
 
Далее делаем пошаговую подстановку значений в записанные формулы и находим требуемый результат.
 
BAC = CBA = 41°
 
ACB = 180° - (BAC + CBA) = 180° - (41° + 41°) = 98°
 
ACD = 180° - 98° = 82°
 
Ответ: 82°.
 
 
2.(через сумму двух углов треугольника, не смежных с внешним углом).
 
 
В задании необходимо найти внешний угол треугольника при вершине С. Этим углом является угол ACD.
Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника, не смежных с ним. (свойство внешнего угла треугольника). Следовательно,
 
ACD = BAC + CBA
 
В треугольнике ABC стороны AC и CB равны, то есть треугольник является равнобедренным. В таком треугольнике углы при основании равны. То есть,
 
BAC = CBA
 
По условию задания BAC = 41°.
 
Далее делаем пошаговую подстановку значений в записанные формулы и находим требуемый результат.
 
BAC = CBA = 41°
 
ACB = 41° + 41° = 82°
 
Ответ: 82°.
 
Очевидно, что второй способ более быстрый и простой, но он требует знания свойства внешнего угла о том, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
 
 
 
Полезный совет!!!
 
Многие геометрические задания удобно решать пошагово, выстраивая цепочку от неизвестной к известной величине угла или от неизвестного отрезка к известному.
После того, как такая цепочка выстроена, необходимо последовательной подстановкой значений найти требуемую величину угла или отрезка.
 
  
 
 
 
 Пример №2.
 
 
Задание.
 
 
 
Решение.
 
Задание можно решить двумя способами.
 
1.(через угол ABH)
 
 
В задании необходимо найти угол BAH.
Этот угол является одним из углов треугольника BAH.
Сумма углов треугольника равна 180°. Значит угол BAH можно найти через углы AHB и ABH.
 
BAH = 180° - (AHB + ABH)
 
Угол AHB является прямым, так как AH является высотой треугольника ABC.
 
AHB = 90°
 
Угол ABH является внешним углом треугольника ABC и, следовательно, равен сумме двух углов, не смежных с ним (свойство внешнего угла).
 
ABH = BCA + BAC
 
В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, то есть треугольник является равнобедренным. В таком треугольнике углы при основании равны. То есть,
 
BCA = BAC
 
По условию задания BCA = 35°.
 
Далее делаем пошаговую подстановку значений в записанные формулы и находим требуемый результат.
 
BCA = BAC = 35°
 
ABH = BCA + BAC = 35° + 35° = 70°
 
BAH = 180° - (AHB + ABH) = 180° - (90° + 70°) = 20°
 
Ответ: 20°.
 
 
2.(через угол HAC)
 
 
В задании необходимо найти угол BAH.
Этот угол является частью угла HAC, равного сумме углов BAH и BAC. Следовательно,
 
BAH = HAC - BAC
 
Угол HAC является углом прямоугольного треугольника HAC, в котором угол AHC прямой (AH - высота), а угол HCA известен по условию задания и равен 35°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то можно найти угол HAC:
 
HAC = 180° - AHC - HCA = 180° - 90° - 35° = 55°
 
Угол BAC является углом равнобедренного треугольника ABC, в котором AB и BC равны. Так как в этом треугольнике углы при основании равны (свойство равнобедренного треугольника), то
 
BAC = BCA = 35°
 
Подставляем полученные значения и находим угол BAH.
 
BAH = HAC - BAC = 55° - 35° = 20°
 
Ответ: 20°.