Тема "Основные понятия и определения."

Фундаментальные понятия это понятия, которые не имеют определения. Например, понятие "точка" не определяется через другие геометрические понятия, потому что оно является фундаментальным (первичным, базовым). Но через это понятие определяются другие понятия.

Так как фундаметальные понятия не определяются другими понятиями, их свойства задаются системой аксиом (постулатов, которые не требуют доказательств).

Точка по своей сути является "объектом, не имеющим частей" (Евклид). Другие геометрические фигуры, как правило, состоят из множества точек.

Понятие "прямая" так же, как и "точка", является фундаментальным понятием.

Следующие аксиомы характеризуют понятия "точка" и "прямая":

1) Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки.

2) Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

3) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Параллельные прямые - две непересекающиеся прямые.

Пересекающиеся прямые - две прямые, имеющие общую точку.

Перпендикулярные прямые - две пересекающиеся под прямым углом прямые.

Секущая - прямая, пересекающая две других прямых.

Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками, и сами эти точки (концы отрезка).

Параллельные отрезки - два отрезка, лежащие на параллельных прямых.

Перпендикулярные отрезки - два отрезка, лежащие на перпендикулярных прямых.

Перпендикуляр - отрезок, соединяющий не лежащую на прямой точку с этой прямой и образующий с этой прямой угол 90 градусов. Точку пересечения перпендикуляра с прямой называют основанием перпендикуляра.

Наклонная - отрезок, соединяющий точку, не лежащую на прямой, с этой прямой, который не является перпендикуляром.

Серединный перпендикуляр - прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину.

Луч - разделенная одной точкой часть прямой (полупрямая) и сама эта точка (начало луча).

Дополнительные лучи - два луча, имеющие общее начало и лежащие на одной прямой. Угол, стороны которого образованы дополнительными лучами, называется развернутым углом.

Биссектриса угла - луч с началом в вершине угла, делящий этот угол на два равных угла.

Угол - геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало.

Смежные углы - два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами.

Вертикальные углы - два таких угла, что каждая из сторон одного угла является дополнительным лучом другого угла.

Внешний угол треугольника - угол, смежный с внутренним углом треугольника.

Треугольник - геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

Медиана треугольника - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Высота треугольника - перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону.

Средняя линия треугольника - отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Катет - одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующая прямой угол.

Гипотенуза - сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла.

Основание равнобедренного треугольника - сторона равнобедренного треугольника, не равная двум другим сторонам.

Боковые стороны равнобедренного треугольника - две стороны равнобедренного треугольника, которые равны.

Окружность - геометрическое место равноудаленных от одной точки (центра окружности).

(или Окружность - геометрическое место точек, расстояние от которых, до заданной точки равно данному положительному числу).

Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности и любую его точку.

Хорда - отрезок соединяющий и две точки окружности.

Диаметр - хорда, проходящая через центр окружности.

Касательная к окружности - прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.

Окружность, описанная около треугольника, это окружность, которая проходит через все его вершины.

Окружность, вписанная в треугольник, это окружность, которая касается всех его сторон.

Круг это геометрическое место точек, расстояния от которых до заданной точки не больше данного положительного числа.

Расстояние от точки, не принадлежащей прямой, до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Если точка принадлежит прямой, то считают, что расстояние от этой точки до прямой равно нулю.

Расстояние между двумя параллельными прямыми - расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Расстояние между двумя произвольными фигурами - отрезок, наименьшей длины, соединяющий точки этих фигур.

Аксиома - утверждение, которое не требует доказательств и используется для доказательства других утверждений.

Примеры:

1.Каждый отрезок имеет определенную длину.

2.Каждый угол имеет определенную величину.

3.Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема - утверждение, истинность которого устанавливается с помощью доказательства.

Теорема всегда состоит из двух частей: условия (то, что дано) и заключения (то, что требуется доказать).

Примеры теорем:

1.Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

  Условие - точка лежит на биссектисе угла.

  Заключение - эта точка равноудалена от сторон этого угла.

2.Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

  Условие - медиана прямоугольного треугольника проведена к гипотенузе.

  Заключение - эта медиана равна половине гипотенузы.

Взаимообратные теоремы - две теоремы, каждую из которых можно получить из другой, поменяв местами условие и заключение.

Пример двух взаимообратных теорем:

1.Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

2.Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.

Следствия - теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем.

Пример теоремы и следствий из нее:

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Следствие: Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.